TUTORIAL MATHCAD 2016 - PARTE I

Eduardo Fontana

fontana@ufpe.br

Dep. de Eletrônica e Sistemas

Universidade Federal de Pernambuco, Recife, Brasil

A versão html deste tutorial deve ser vista com codificação UTF-8 e nos browsers: Safari, Chrome e Internet Explorer

Publicado em 24/03/2016

I - ELEMENTOS BÁSICOS DO MATHCAD

1. Introdução

2. Elementos da interface gráfica

3. Caixa de ferramentas

4. Regiões de texto

5. Constantes, variáveis e funções

6. Indexação, vetores e matrizes

7. Traçado de gráficos

8. Animações em Mathcad

9. Algumas teclas de atalho

10. Derivadas, integrais, séries e produtos

11. Entrada e saída de dados

I - ELEMENTOS BÁSICOS DO MATHCAD

1. INTRODUÇÃO


Neste capítulo são descritos os elementos básicos necessários à utilização dos recursos disponíveis no aplicativo Mathcad. A versão disponível no ano de 2016 é a versão Prime 3.0. e a versão em que está escrito este tutorial é a versão 15. O item de menu Help do aplicativo contém inúmeros exemplos e tutoriais de como utilizar o Mathcad, bem como funções mais avançadas. O leitor pode acompanhar os tópicos descritos neste texto, executando diretamente os exemplos em seu ambiente Mathcad.


2. ELEMENTOS DA INTERFACE GRÁFICA


O ambiente Mathcad consiste basicamente de um área de trabalho, onde o código computacional é escrito; 1 menu, várias caixas de ferramentas e uma série de botões de comando que acionam uma variedade de funções.

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O número de funções associadas a esses elementos pode variar nas versões mais recentes, mas o princípio de operação dessas funções permanece basicamente o mesmo.

O menu contém comandos mais ou menos comuns à maioria dos aplicativos compatíveis com o sistema operacional Windows.

No entanto, praticamente todas as funções disponíveis no menu podem ser acessadas através das caixas de ferramentas e dos botões de comando. Atributos de edição de texto estão incluídos na seqüência de botões situada logo abaixo das botões das caixas de ferramentas e acima da área de trabalho.

3. CAIXAS DE FERRAMENTAS

Salvo em algumas exceções, as caixas de ferramentas do Mathcad contêm quase todas as funções utilizadas na elaboração de um programa computacional.

Cada caixa de ferramentas reúne um conjunto de funções, operadores e comandos e a denominação de cada caixa pode ser obtida ao arrastar o mouse por sobre o botão que a define, na barra do menu. Um clique simples sobre o botão abre a caixa de ferramentas correspondente. Um segundo clique sobre o mesmo botão fecha a caixa

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4. REGIÕES DE TEXTO


O que quer que seja escrito na área de trabalho é algo que será calculado pelo aplicativo, a menos que seja uma Região de Texto, como esta. Regiões de texto são utilizadas para a adição de comentários no decorrer do programa. Uma região de texto pode ser criada escrevendo-se um caractere seguido de espaço, ou inserindo-se um apóstrofo duplo antes de iniciar o texto.


Pode-se também utilizar a opção Text Region no item de menu Insert. Regiões de texto, constantes, variáreis e funções podem ser posicionadas em qualquer lugar da área de trabalho com o emprego do mouse. A seleção da região é feita arrastando-se o mouse por sobre a região de texto com o botão esquerdo acionado.

5. CONSTANTES, VARIÁVEIS E FUNÇÕES


5.1 Constantes e variáveis


Constantes, variáveis e funções em Mathcad podem ser escalares, vetores ou matrizes, strings, números reais ou números complexos, não havendo necessidade de uma pré-definição de tipo, como em muitas das linguagens de programação.


A sintaxe para se escrever expressões tem a forma geral da sintaxe convencional. Utilize o mouse para posicionamento, seleção de operadores e de opções de menu e inserção de constantes, variáveis ou funções na área de trabalho.


Para atribuir um valor a uma constante ou variável, posicione o cursor na área de trabalho, acione o botão esquerdo do mouse e digite o nome, seguido de dois pontos (essa é uma das teclas de atalho entre as várias disponíveis no aplicativo).

O exemplo abaixo corresponde a atribuir o valor 2 à variável x

Alternativamente, selecione o segundo operador na caixa de ferramentas "Evaluation"

Utilize a caixa Evaluation e tente completar a declaração em azul, como no exemplo em amarelo

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Para exibir o valor atual da constante ou variável, utilize o botão de igualdade (primeiro botão na caixa "Evaluation").

Para ver o resultado habilite o cálculo da região em amarelo, clicando com o botão direito do mouse e selecionando "Enable evaluation"

Obs1. Nas últimas versões do Mathcad, se a variável à qual se está atribuindo o valor ainda não tiver sido definida, pode-se também utilizar o sinal "=" que a

operação atribuição fica automaticamente definida. Por outro lado, se algum valor já tiver sido atribuído a essa variável, o sinal de "=" permanece tendo o seu significado original, ou seja, de exibição do valor atual da variável.


Obs2. Na medida do possível, expressões que representem "atribuição de valor" ou definição de função serão sombreadas em amarelo. Expressões que representem "Exibição de valores" serão sombreadas em azul, ou seja

ATRIBUIÇÃO DE VALOR

EXIBIÇÃO DE VALOR

Vale observar que a execução de instruções em Mathcad procede da esquerda para a direita e de cima para baixo. Mensagens de erro são exibidas ao se tentar obter o valor de uma variável ainda não definida no programa.

Por exemplo:

Erro indicado em vermelho porque o valor de y só será definido abaixo. Clique na área azul para ver a mensagem de erro

Números complexos são representados de acordo com a sintaxe convencional. Assim, para atribuir-se o valor complexo 2+3i ao parâmetro a, escreve-se simplesmente

Toda parte imaginária de um número complexo tem de ser escrita na forma de um múltiplo do imaginário puro i. Assim, para atribuir-se o valor complexo i ao parâmetro a, escreve-se 1i e não apenas i, ou seja:

forma incorreta (o erro é assinalado em vermelho pelo aplicativo)

forma correta : basta clicar na expressão e verificar como o segundo membro foi inserido

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Operações de soma, subtração, divisão e multiplicação podem ser inseridas digitando-se as teclas +, - , * e /. Para elevar-se um número a uma dada potência, a tecla ^ pode ser utilizada. Assim:

Strings em Mathcad são definidas entre apóstrofos, como no exemplo abaixo

Habilite essa expressão para ver o valor de x

Observação:

Há várias funções úteis para manipular strings, como por exemplo, concatenação, de strings, obtenção de sub-strings, número de caracteres em strings, etc, disponíveis no menu Help do Mathcad, e que poderão ser utilizadas em exercícios de simulação adiante.

5.2 Funcões


Funções são definidas em Mathcad escrevendo-se o nome da função juntamente com seu argumento entre parêntesis, de acordo com a sintaxe matemática convencional.


Uma função difere de uma variável ou constante, uma vez que só é efetivamente calculada quando algum valor é atribuído ao seu argumento. Considere-se por exemplo a definição em Mathcad da função f tendo x como argumento

Pode-se, por exemplo calcular o valor da função para um dado valor de seu argumento. Seja, por exemplo, a definição da constante complexa

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então o valor f(a) é obtido de

Obs.: Evite atribuir valor numérico a qualquer variável muda. Isso permite que o mesmo nome de variável seja usado como argumento de funções distintas e torna o programa mais elegante. Por exemplo, se x é a variável designada para uso como argumento de função, nunca atribua valores a essa variável, como no exemplo a seguir.

Nesse exemplo, um valor anterior de x (x=2 definido anteriormente) está sendo utilizado para o cálculo de f e g e isso pode causar confusão.

Uma forma alternativa é definir nomes dos parâmetros que irão de fato receber valores para o cálculo das funções, x1 no caso. Com isso a letra x é sempre usada como variável muda sem receber valores durante a execução do programa.

Acionando a opção function na opção de menu Insert permite a exibição das funções disponíveis em Mathcad em ordem alfabética, com um breve sumário das suas propriedades. Salvo em alguns casos especiais, funções em Mathcad têm formas idênticas àquelas adotadas na sintaxe matemática convencional.

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6. INDEXAÇÃO, VETORES E MATRIZES


6.1 Indexação e vetores


Para possibilitar que uma variável assuma uma seqüência de valores, utilize, na caixa de ferramentas Matrix, o botão

Por exemplo, para definir uma variável inteira n que varia de 1 a 100, utilize

Digite n : 1

n

Para criar-se uma seqüência de valores m, com incremento diferente de 1, como por exemplo, m={ 0, 0.01, 0.02, ...0.05 },

Nesse exemplo, o segundo argumento é separado por vírgula e representa o segundo valor da seqüência, fornecendo indiretamente o incremento

Para exibir os valores utilize o sinal de igualdade =

Para ver todos os 100 valores de n, clique na tabela e

use a barra de rolagem

Um vetor é uma matriz coluna. Para definir um vetor, utilize uma variável inteira para indexação dos elementos.


No exemplo abaixo tem-se a definição de um vetor K de 10 elementos, com cada elemento representando o quadrado do valor do índice.

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Define o índice i:

Define o i-ésimo elemento do vetor

O subscrito pode ser inserido com o botão Xn

na caixa de ferramentas Matrix ou digitando K [ i

Exibe o vetor K (Digite K = )

6.2 Matrizes


Para criar uma matriz, defina o seu nome, e acione o botão na caixa de ferramentas Matrix. Essa ação promove a abertura da caixa de diálogo

Escolha o número de linhas e colunas e acione o botão Insert. Insira os valores de cada elemento de matriz nos espaços utilizando a tecla TAB para mover entre diferentes elementos da matriz. Veja o exemplo de criação de uma matriz 5x5, com alguns elementos inseridos.

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Como as matrizes acima estão incompletas, surge em cada uma um campo em vermelho indicando o erro. Complete os valores dessas matrizes.

Para obter o elemento de matriz da i-ésima linha e j-ésima coluna, use esses índices como subsrito separados por vírgula. No exemplo abaixo, o elemento da linha i=2 e coluna 4 da matriz N será exibido após a especificação completa da matriz N.

Observe algumas operações que podem ser realizadas. Todas essas operações são obtidas utilizando a caixa de ferramentas Matrix. Note que só serão calculadas quando as matrizes M e N estiverem completamente definidas.

Produto Matricial:

Determinante de M:

Observação :

É importante utilizar o símbolo | | contido na caixa de ferramentas Matrix apenas para o cálculo do determinante. Se esse símbolo for usado para o cálculo do módulo de um escalar ou vetor, ocorre erro. Para calcular o módulo de um escalar ou vetor utilize o símbolo | | da caixa de ferramentas Calculator

Elemento na linha zero e coluna 1 de M.

Sim, em Mathcad a primeira linha e a primeira coluna estão na posição 0. Os subscritos são separados por vírgula:

Quarta coluna de M:

lembre-se que a primeira coluna

é a de ordem zero

Inversa de M:

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Transposta de M:

Quadrado de M:

Vetorização:

Esse operador permite que uma função ou operação atue de forma idêntica em todos os elementos de um vetor ou matriz. Por exemplo, cada elemento da matriz resultante do produto vetorizado abaixo

é o produto dos respectivos elementos da matriz.

Por exemplo, o resultado da operação:

é o quadrado de cada elemento de M, da mesma forma que:

representa uma matriz com cada elemento sendo dado pelo cosseno do respectivo elemento de M.

Soma de uma matriz com uma constante: Uma constante é assumida como sendo uma matriz com todos os elementos tendo esse valor constante:

Matriz identidade:

Para definir uma matriz identidade com "uns" na diagonal e elementos restantes nulos, utilize a função identity(n). Por exemplo,

representa a soma da matriz M com a matriz identidade de ordem 5.

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Produtos escalar e vetorial:

Faça você mesmo:

Defina dois vetores 3x3:

Produto escalar

Aciona primeiro o operador

e depois insere as variáveis X e Y

Calcula produto vetorial

Aciona primeiro o operador

e depois insere as variáveis X e Y

Há outras funções de vetores e matrizes que podem ser úteis em algumas situações. Pode-se por exemplo juntar um ou mais vetores ou matrizes com o emprego das funções augment e stack, conforme os exemplos seguintes

junta A e B lado a lado

junta A e B uma sobre a outra

Quando as matrizes X e Y acima forem definidas os resultados a seguir serão obtidos automaticamente:

Muitas outras funções estão disponíveis e descritas no item de menu Insert Function ou no item Help.

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7. TRAÇADO DE GRÁFICOS


Vários tipos de gráficos podem ser traçados em Mathcad. A criacão de gráficos pode ser feita através da caixa de ferramentas Graph.

7.1 Traçado de gráficos xy no plano cartesiano

Traçado de funções conhecidas pode ser feito acionando o botão

Essa ação gera a área de gráfico bi-dimensional ilustrada a seguir.

Os placeholders indicados na figura serverm para inserir a função, seu argumento e os respectivos limites inferior e superior. Se os limites inferior e superior forem omitidos, Mathcad tenta atribuir limites adequa dos, sempre que possível. O gráfico abaixo representa o traçado da função quadrática.

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Para verificar quais são os limites inferior e superior apenas "clique" no gráfico. Mude esses limites, se quiser.

Equivalentemente pode-se definir a função quadrática externamente, ou seja

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Mais de uma função pode ser plotada. No eixo vertical a primeira função é inserida no placeholder. Insere-se vírgula e um novo placeholder aparece para a próxima função, como no exemplo a serguir.

Cada função pode ser plotada com respeito ao seu próprio argumento. No eixo horizontal, cada argumento é inserido no placeholder com uma vírgula de separação, como no exemplo abaixo.

Nos exemplos acima, Mathcad plota automaticamente e define as escalas vertical e horizontal. Assim, pode-se examinar o comportamento de qualquer função. Escolha uma de seu interesse e examine você mesmo.

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Nesses três exemplos, Mathcad não escolheu as escalas muito bem. Podemos definir a escala vertical e horizontal de nosso interesse, colocando os valores limites dos intervalos nos placeholders correspondentes

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No caso da função tangente vamos diminuir os intervalos nas duas dimensões.

Basta clicar no gráfico e substituir os valores dos placeholders. No exemplo abaixo a variável horizontal está no intervalo entre -p e p. A vertical entre -10 e 10

Linhas de grade são adicionadas após um clique duplo no gráfico e modificando as opções na janela de diálogo

Para a função gaussiana, utilizando um limite superior 1, obtém:

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Funções calculadas numericamente podem também ser plotadas, como no exemplo seguinte:

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7.2 Polar plot

Gráficos representados no plano xy, como função das variáveis radial r e azimutal φ, podem ser feitos acionando o botão

Exemplo: Traçado de um espiral no plano

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7.3 Surface plot - Traçado de funções de duas variáveis

Define a função:

Aciona o botão

e insere a função no placeholder

Obs.: Há um bug no Mathcad 15 no tocante à exibição dos gráricos em formato surface plot. Para visualizá-los é necessário desabilitar a opção show border, nas propriedades do gráfico.

Isso pode ser feito com um clique duplo na área do gráfico e desabilitando essa opção no item de menu General. Além disso, ao se rolar a página gráficos em formato surface plot ou em outro formato podem temporariamente desaparecer na tela. Para recuperar as imagens, basta refrescar a tela, acionando CTRL+R.

Modifique o formato com um clique duplo e acionando opções na janela de diálogo, como nos exemplos abaixo

Fill surface

Fill surface + Colormap

Clique no gráfico e, mantendo o botão acionado, gire ou reposicione a superfície

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O exemplo a seguir representa um surface plot paramétrico, em que as três coordenadas são parametrizadas pelas variáveis u e v.

No placeholder, são colocadas as funções F1, F2 e F3 entre parêntesis

Outro exemplo

Com essa parametrização tem-se a representação do parabolóide z=r2, traçado anteriormente sobre um domínio retangular, agora sobre um domínio circular

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Outro exemplo: traçado de uma esfera, com centro na origem e de raio = 2

Com base nessa figura as coordenadas do sistema cartesiano podem ser escritas em termos das coordenadas esféricas na forma

x = Rsenqcosf

y = Rsenqsenf

z = Rcosq

Dessa forma, a esfera de raio R=2 e centro na origem pode ser escrita na forma:

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No exemplo acima o número de pontos é pequeno e a resolução da figura é baixa. Uma alternativa é aumentar o número de pontos no próprio gráfico. Com um clique duplo no gráfico e seleção da opção "quick plot data" pode-se aumentar o número de pontos e melhorar a resolução.

As funções x, y e z, podem também ser calculadas numericamente com um maior número de pontos para tornar o traçado mais suave, como no exemplo abaixo.

Evitando a auto-escala do Mathcad e fazendo uma variação mais fina nas coordenadas, obtém uma esfera mais perfeita. Faça um clique duplo no gráfico e explore outras formatações

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7.4 Countour Plot

Acionando o botão

permite o traçado de curvas de nível de funções de duas

variáveis. No exemplo seguinte as curvas de nível da função f(x,y)=x2+y2, definida anteriormente e que representam cincunferências concêntricas estão representadas graficamente.

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7.5 3D Scatter Plot

Acionando essa opção obtém-se o traçado de curvas no espaço tridimensional. No exemplo a seguir a curva helicoidal é parametrizada pela variável t e o argumento do gráfico é a seqüência de variáveis x, y, e z entre parêntesis e separadas por vírgula.

Devido à auto-escala o gráfico não é tão suave. Para esse caso específico 20 pontos são utilizados na auto-escala. Devido a auto-escala o gráfico não é tão suave. Para esse caso específico 20 pontos são utilizados na auto-escala.

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Nesse gráfico foram utilizados 100 pontos para o traçado, a partir do clique duplo no gráfico e na opção "quick plot data".

Por outro lado, calculando numericamente o parâmetro:

Corresponde a 5 voltas completas

Outras possibilidades de traçados de gráficos 2D e 3D podem ser obtidos no item de menu "Help"--> Quicksheets

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8. ANIMAÇÕES EM MATHCAD

Efeitos dinâmicos podem ser simulados com o emprego da ferramenta de animação do Mathcad. A variável FRAME é utilizada como parâmetro dos gráficos ou funções a serem animados. Essa função existe até a versão 15 do Mathcad. Foi desabilitada a partir das versãoes Prime do aplicativo.


No exemplo a seguir, a animação é feita sobre um parabolóide, cuja forma varie continuamente no espaço. As seguintes etapas são realizadas para obter-se a animação.

Etapa 1: Define a função parametrizada pela variável FRAME

Utilizamos o parabolóide expresso em coordenadas cilíndricas, reproduzido nas equações abaixo:

O coeficiente que multiplica r2 é uma parâmetro que varia senoidalmente. O denominador é utilizado para obter-se uma variação suave da forma do paraboloide.

Etapa 2: Cria-se o surface plot com as variáveis entre vírgulas e limitadas por parêntesis.

O surface plot ao lado foi formatado para uma grade 50x50 no plano xy e com outros ajustes para melhor aparência.

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Etapa 3: Aciona-se a opção de menu Tools --> Animation --> Record

Essa janela é exibida. Nela os valores inferior e superior da variável FRAME, bem como a taxa de quadros/seg podem ser escolhidas.

Etapa 4: Executa-se a animação

Após a escolha de parâmetros arrasta-se o mouse com o botão acionado de forma a se envolver toda a região a ser animada. Aciona-se o botão "Animate"

na janela "Record Animation"

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Etapa 5: Após terminado o cálculo de todos os quadros, salva-se o arquivo avi, acionando-se o botão correspondente na janela "Record Animation".

Uma janela como essa mostrada

ao lado é exibida para permitir

que a animação seja examinada.

Observação :

Para que a animação seja feita corretamente, os limites e inferior dos eixos dos gráficos têm de ser fixados, ou seja, não se deve usar a opção auto-escala.

Faça agora a seguinte animação e salve o arquivo avi:.

1. O paraboloide especificado acima com as seguintes especificações:

Variável FRAME entre 0 e 200

Taxa de quadros de 20 frames/sec

Valores limites das escalas dos 3 eixos:

-1 < x < 1, -1 <y < 1 e -2 < z < 1

Acesse http://www.youtube.com/vidgitalstudios para visualizar algumas animações geradas pelo autor com o emprego de Mathcad.

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9. ALGUMAS TECLAS DE ATALHO


Várias ações e operações podem ser executadas rapidamente através do uso de teclas de atalho. Algumas teclas muito úteis estão listadas a seguir.

Exemplo: Cálculo numérico da derivada da função gaussiana

define a função gaussiana

forma alternativa

define a função derivada

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Para ver o resultado da derivada em x=1 habilite a expressão(clique com o botão direito do mouse na expressão e escolha "Enable evaluation")

varia o argumento das funções entre -3 e 3

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Exemplo: Cálculo numérico da integral da função gaussiana

A função gaussiana f(x) foi definida no exemplo anterior e essa definição permenece válida

Define a função integral

Para ver o resultado da integral em x=1 habilite a expressão(clique com o botão direito do mouse na expressão e escolha "Enable evaluation")

Plota no intervalo entre -3 e 3 já definido anterior no argumento t das funções...






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Exemplo: Cálculo numérico da soma de termos do tipo n2, com n uma variável inteira positiva e com valor máximo n=10

Caso 1: Utilizando o operador

Defina os valores da variável discreta n

Calcula a soma

Exibe o valor calculado (habilite a expressão)

Caso 2: Utilizando o operador

Exibe o valor calculado (habilite a expressão)

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Um tipo particular de soma de elementos de um vetor pré-definido não está disponível na barra de ferramentas de cálculo, mas pode ser realizada com o emprego da combinação de teclas CTRL+4, conforme mostrado no próximo exemplo.

Exemplo: Cálculo numérico da soma de elementos de um vetor

Define o vetor coluna (note que ele foi escrito na forma transposta para economizar espaço vertical)

Calcula a soma de elementos (utiliza a tecla de atalho CTRL+4)

Exibe o valor calculado (habilite a expressão)

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11. ENTRADA E SAÍDA DE DADOS

Existem várias formas de ler e escrever dados em Mahtcad. Uma das formas mais simples de fazer isso é através da opção:

Insert--> Data-->File input (ou File output)

Em muitas situações, quer-se gerar uma tabela com dados numéricos para representação gráfica externa, em uma planilha excell por exemplo. O Mathcad permite gerar arquivos nesse formato e em outros formatos. Uma vez feita a escolha de entrada ou saída de dados, com o formato definido pela janela de diálogo, basta escrever o nome da variável que recebe ou disponibiliza os dados no placeholder, conforme o exemplo a seguir

Exemplo: Entrar com os dados listados na Pasta1.xlsx na variável A

Exibição de A

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Exemplo: Gravação de dados de uma variável em um arquivo excell

Vamos usar a própria matriz A como exemplo. Usa diretamente no item de menu Insert: Insert --> Data --> File Output e escolhe a opção Excell. Neste exemplo o nome do arquivo escolhido foi Pasta2.xlsx. No placeholder que aparece na área de trabalho, simplesmente escreve-se o nome da variável, A, no presente exemplo

Há outras formas de entrada e saída de dados e objetos em Mathcad. Estes podem ser acionados por meio da opção Insert --> Component. Isso permite além da entrada e saída de dados, a entrada de objetos conforme pode ser inferido da lista de opções que aparece ao acionar essa opção.

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